Про улитку, резинку, и мысленно - формульное изгаляторство.

Эта задачка из разряда аналогии апории Зенона про черепаху и Ахиллеса, достаточно регулярно появляется на многих физических и математических форумах, в массе блогов. Считается особым шиком доказать во что бы то ни стало, что медленно ползущую черепаху никогда не догонит быстрее ее передвигающийся человек. С этой конкретной задачкой про Ахиллеса и черепаху вроде разобрались, опыт опровергает рассуждалки. Но философам от фонаря с математическим уклонам неймется. В разных вариантах уже с резинкой она все равно возникает как парадокс, но на деле все равно апория-чушь.

Однажды на уроке информатики в школе, учительница задала нам следующую задачу:
Улитка начинает свое движение по резинке длинной 1 метр. Каждый час улитка проползает 1 см, а резинка растягивается на 5 см. Считаем, что длинна улитки не имеет значения. Достигнет ли когда-нибудь улитка другого конца резинки, и если достигнет, то через сколько часов?

Услышав эту задачу, народ стал выкрикивать готовые решения вроде «достигнет!», «не достигнет!», а то и «резинка порвёться раньше» :), на что учительница предложила написать простенькую программу, которая бы и являлась одновременно решением этой задачи и доказательством его.

То, что растягивание резинки бесконечно, подразумевается.

Учительница и программку свою выставила, вот только не пояснила ученикам, что программки не являются каким бы то ни было доказательством правильности суждений, а тем более с ошибками.

Понятен ли вам парадокс "муравья на резиновом тросе"?

Задает вопрос один из «продвинутых» блогеров и начинает развивать тематику абсурдного доказательства.

Как то мы уже с вами обсуждали уже такой парадокс, который называют либо "Ахиллес и черепаха", либо жучок и резинка, но прочитав комментарии к тому посту я понял, что мало кто осознал это и вообще поверил этому.

Товарисчь разницы не понимает, между парадоксом и апорией.

Что у нас по условию?

На старте муравей находится на одном конце резинового жгута. Второй привязан к автомобилю. И муравей, и автомобиль начинают двигаться одновременно. Машина едет со скоростью километр в секунду. Муравей ползёт со скоростью один сантиметр в секунду. Доберётся ли муравей до машины? Это кажется совершенно невозможным – резина растягивается быстрее, чем движется муравей.

Значит муравей не доберется до машины? Или доберется?
Блогер biglebowsky

 напомнил тогда такую историю.

Воспоминания академика Л.Б. Окуня. «Три эпизода», журнал "Природа", 1990, №8, стр.119.

"Великому физику акад. А.Д. Сахарову принадлежит неофициальный рекорд скорости решения этой задачи.
21 июля 1976 г. Ресторан «Арагви» в Тбилиси, где происходит торжественный ужин участников международной конференции по физике высоких энергий (XVIII в серии так называемых Рочестерских конференций). Много длинных столов. За одним из них я оказался вблизи от Андрея Дмитриевича. Общий разговор стохастически менял направление. В какой-то момент заговорили о задачах на сообразительность. И тут я предложил Андрею Дмитриевичу задачу о жучке на идеальной резине. Суть ее такова.

Резиновый шнур длиной 1 км одним концом прикреплен к стене, другой у вас в руке. Жучок начинает ползти по шнуру от стены к вам со скоростью 1 см/сек. Когда он проползает первый сантиметр, вы удлиняете резину на 1 км, когда он проползает второй сантиметр, - еще на 1 км, и так каждую секунду. Спрашивается: доползет ли жучок до вас, и если доползет, то за какое время?

И до, и после этого вечера я давал задачу разным людям. Одним для ее решения требовалось около часа, другим сутки, третьи оставались твердо убеждены, что жучок не доползет, а вопрос для времени задается, чтобы навести на ложный след.

Андрей Дмитриевич переспросил условие задачи и попросил кусочек бумаги. Я дал ему свой пригласительный билет на банкет, и он тут же без всяких комментариев написал на обороте решение задачи. На все ушло около минуты."

В статье была фотография того самого пригласительного билета с решением Сахарова.


пруф

Вообще математически задача достаточно сложная и полное решение ее можно посмотреть тут или вот тут - Ant on a rubber rope

Ну, а как бы простыми словами то объяснить?

Да никакими, есть аналогичный опыт с катушкой ниток, которая разматывается, допустим, на метр, как только нитку скрутят на такую же катушку с другого конца на пол метра. Длина свободной нитки между катушками в самом начале один метр.

Смотал полметра, а свободный провис стал полтора, еще полметра, провис два, еще полметра провис два с половиной и так далее, наматывать не успеваешь.

Все!!!
Вот что предлагал тогда блогер mischa_poet

:

Давайте сначала докажем, что скорость муравья на разных участках ленты будет разной. Для простоты предположим, что муравей вообще не двигается.

А с какого рожна разная скорость? Она задана в условиях задачи

Ситуация 1. Муравей сидит на конце ленты, расстояние за ним 0 м, перед ним 1 метр. Машина проехала 1 метр. Расстояние за муравьем 0 м, перед муравьем 2 метра. Скорость его ноль

Ситуация 2. Муравей сидит на центре ленты, расстояние за ним 0,5 метра, перед ним 0,5 метра. Машина проехала 1 метр. Длина ленты стала 2 метра, но центр остался там же, при этом расстояние за муравьем 1 метр и перед муравьем 1 метр. Хотя изначально за ним было 0,5 метра. Т.е. за секунду он преодолел 0,5 метра.

И т.д., вы видите, что находясь на разных участках ленты скорость муравья будет разной, чем ближе к машине, тем выше его скорость.

Давайте облегчим задачу и перенесём центр системы координат на муравья.

Возьмем опять же центр для простоты. Только теперь муравей движется.

0 секунда. Машина относительно муравья будет на расстоянии 50 см

1 секунда. Теперь расстояние будет (50-1)*коэффициент растяжения. Коэффициент растяжения это цифра которая показывает во сколько раз увеличивается кусок шнура. Шнур был 1 метр, стал через секунду 2 метра, соответственно коэффициент растяжения стал равен двум.
Итак расстояние до машины теперь (50-1)*2 или 98

2 секунда. Теперь расстояние будет [(50-1)*2-1]*коэффициент растяжения. Шнур был 2 метра, стал 3 метра => коэффициент растяжения теперь будет равен 1,5
Итак расстояние до машины теперь [(50-1)*2-1]*1,5 или 145,5

И вот здесь тот момент который вас смущает, расстояние действительно увеличивается 50, потом 98, потом 145,5. Но вы не учитываете ускорение это увеличения, а оно отрицательно. Разница между первым и вторым значением равна 48, тогда как между третьим и вторым она уже 47,5. Дальше будет происходит тоже самое, прибавка к увеличению расстояния между машиной и муравьем будет постоянно уменьшатся, пока не станет меньше 1см, в этот момент, расстояние между машиной и муравьем начнет уменьшаться.





Или вот так еще из примера про Ахиллеса и черепаху:
Пусть она изначально сидит в середине ленты (дадим ей фору) и за каждую секунду преодолевает ровно половину оставшейся части ленты (все измерения делаются в долях от длины ленты, которую поэтому можно условно считать равной 1, несмотря на то, что относительно «неподвижного наблюдателя» лента всё время удлиняется). Через секунду черепаха будет на отметке 3/4 текущей длины ленты (которая будет в тот момент равна 11 метрам), еще через секунду — на 7/8, и т. д. Видно, что черепаха неуклонно приближается к концу ленты.

Ну а теперь итог:


Ну как вам, понятнее стал парадокс или все еще не верится, что муравей догонит машину?

Натуральное жульничество или идиотизм! одно другого стоит.
На растягивающейся непрерывно ленте понятия точки нету, она непрерывно в длину растягивается(точка размазывается), так что пилите гирю с вашей математикой и волюнтаризмом, потому как и понятие интервала тоже не определено. Дифференцировать нечего, бесконечно малые не растягиваются. А по сему и интегрирование невозможно.

И главное!!! Опыты конечно ставить теоретикам в лом. А зря.

Решение находится.
Это отношение скорости удаления Ахиллеса(конец резинки-финиш), к скорости движения черепахи по растягивающейся ленте, скорости эти постоянны, и не зависят от пройденных или оставшихся(размазанных) интервалов, заданы в условии и могут быть измерены без постановки самого опыта.
при равенстве этого отношения единице, скорости равны, а черепаха стоит на месте относительно Ахиллеса.
Если отношение меньше 1, скорость черепахи больше скорости Ахиллеса и она за конечное время однозначно достигнет "финиш". Если отношение больше 1, скорость
черепахи меньше скорости Ахиллеса, и достичь "финиша" не получится.

Полная аналогия с отношением скоростей при подъеме или спуске по движущемуся навстречу эскалатору.
Отношение =1 стоишь на месте, меньше 1 достигаешь верха(низа). больше 1 - никогда, будет сносить к началу.

А народ типа академика Сахарова, занимающийся такими «экспериментами в уме», теоретики от фонаря.

Фатьянов А.В. Спб. 17.12.2019

В начало на лист изменений

Free Web Counter