О кинематике
равноускоренного движения.
Движение
материальной (.) с места.
Задан промежуток
времени T, в течение
которого материальная точка двигается с постоянным ускорением a. Необходимо составить уравнение движения при
заданном постоянном ускорении,
определить в любой момент времени скорость v и пройденный
путь s.
Разобьем
заданный промежуток времени на n-сколь угодно малых равных частей Dt.
Тогда при движении с
места на первом промежутке
Скорость
v1 = s1/Dt
Введение понятия ускорения на одном обособленном
интервале времени бессмысленно.
Ускорение a=(vi+1-vi)/t рассчитывается как отношение разницы
скоростей на двух ИЗМЕРЕННЫХ интервалах пути за ИЗМЕРЕННОЕ время прохождения
этих интервалов, являющихся общим для них временем движения. При отсутствии предыдущего интервала, что означает движение
с места и равенство начальной скорости нулю,
Ускорение при
подстановке v0=0 численно равно скорости прохождения первого
отрезка пути за заданный интервал времени. При любом виде движения до начала
ускоренного, необходимо измерение пути за время,
a=(vi+1-0)/t = v1/Dt , а ускорение величина постоянная для всех
интервалов времени.
То есть скорость на первом временном интервале не
может быть иной, чем это потом будет задано в ускорении.
Очевидно, что приращение скорости
на каждом следующем интервале времени, величина постоянная, так же как и
приращение пути. Отношение приращения
скорости( разница скоростей) к времени
так же является ускорением. Так как по
формуле a=(Vi+1-Vi)/t имеется в наличии два разных отрезка пути,
пройденные каждый за равный интервал времени, то этих интервалы складываются,
то есть делим на два временных интервала и это общее время движения на данных
интервалах. В случае, когда отсутствует первый интервал(начальная скорость
– v0 равна нулю)
величина скорости автоматически становится численно равной ускорению.
на втором промежутке
времени:
v2=v1+
Dv, где Dv=v2-v1 –
приращение скорости, Ds=s2-s1 приращение
пути
a=(v2-v1)/2Dt= Dv/2Dt =const
причем для ускорения
на этом и последующем интервалах времени берется удвоенное значение интервала в качестве времени t =2Dt -
общего времени движения на двух интервалах.
на третьем промежутке
времени:
v3=v2+
Dv=v1+
Dv+ Dv =v1 +2 Dv, a=(v3-v2)/ 2Dt = Dv/2Dt =const
на n-ом промежутке времени:
vn=v1 + n-1Dv a= Dv/2Dt=const
общая скорость V на всем пути является суммой скоростей на всех интервалах
V=v1+v2+v3+…+Vn
Тогда в силу
разбиения процесса на одинаковые интервалы времени
Путь, пройденный за любой интервал времени,
являющийся количеством отдельных временных отрезков n=t
tvn=tv1+ tDv
Общий путь является
суммой отдельных отрезков пути для всех равных интервалов времени.
S=VT=v1Dt +
v2Dt+…=s1+s2+s3+…+sn
Или
Общий путь пропорционален квадрату времени и скорость
так же пропорциональна квадрату времени.
Ниже прилагается численный пример всех вычислений.
Для ускорения 1метр/сек2 и времени движения 5 секунд
Первая строка-секунды
Вторая строка – отрезки пути на каждой секунде.
Третья строка – метры пути, отмечены черточками и
цифрой в конце каждого интервала времени, рассчитываются как по формуле S=at2
Четвертая строка-Предыдущий путь с приращением
Пятая строка-скорость прохождения отрезка пути за
интервал времени
Шестая строка-скорость за прошедшие секунды
Dt 1 2 3 4 5 Секунды
Si 1 3 5 7 9
метры _1_ _ _ 4_ _ _ _ _9_ _ _ _ _ _ _16_ _ _ _ _
_ _ _ _25 S общ= сумма
всех измеренных интервалов пути.
Si-1+ds 1+2 3+2 5+2 7 + 2
Vi= Si-1+ds 1
3 5 7 9
--------
Dt
V общ 1 4 9 16 25
Это скорость не 25м/сек, а
двадцать пять метров за пять секунд
25м/5cек – общая
скорость прохождения пути за заданное время.
Верно для каждой скорости: метры
за количество временных интервалов.
Реальная скорость будет скоростью на последнем
измеренном интервале времени и составит 9 м/сек. Это скорость при условии
дальнейшего равномерного движения.
Ускорение считается как разность скоростей на двух
любых интервалах отсчета времени, поскольку разность эту невозможно получить на
одном интервале времени, так образом
Dv= Vi -Vi-1
a=Dv/2t
S общ=aT^2 при
условии движения с места. Для случая, если тело уже двигается, для определения
пройденного пути, необходимо измерение
пути за время на интервале времени, предшествующему данному участку
пути.
S общ=V0 T+aT^2
Отмечу, что в
стандартной из учебника формуле s=at^2/2 и
остальном наборе формул имеется путаница в обозначениях времени. Время в
ускорении отличается от общего времени движения.
В данном примере
ускорение, а=1.
Скорость в любой момент времени рассчитать
по формуле v=aT невозможно
опять же из-за различия времен.
Приведем ролик с измерениями, в котором приведено понятия
средней и мгновенной скорости. Смотрим первый опыт с движением по наклонной
плоскости.
Представленный в ролике первый опыт является
масштабной копией приведенного в расчете. Вместо метров используются
сантиметры. То есть масштаб по измеряемому пути уменьшен в сто раз.
Понятие средней
скорости при равноускоренном движении вообще не имеет смысла, поскольку реально
проходится измеряемый в натуре путь на каждом интервале времени и он равен 1 3
5 7 9 11 и тд. с возрастанием на ds=2 и за пять секунд это будет суммой всех пройденных
отрезков 1+3+5+7+9=25 сантиметров. Понятие мгновенной скорости
основано на не существующем и не измеренном интервале пути между 5-й и 6-й
секундами. В ролике это 10.
Оно лишь предполагаемое измерение. А реально
получается, что если ускорение пропадет на пятой, да и на любой секунде, то
объект будет двигаться с постоянной скоростью, равной той, измеренной на
последнем интервале времени. То есть скорость ускоренного движения не может
быть средним арифметическим пути за время на двух интервалах, поскольку она,
реальная, все время растет. А любое применение математического термина—СРЕДНЕЕ,
тут же изменяет физику процесса ускоренного движения и превращает его в равномерное. То есть сумма двух путей за два
равных интервала времени, к примеру (1+3)/2=2
как раз и будет скоростью равномерного движения на пути в четыре метра,
со скоростью 2 метра в секунду. Смешно и
печально.
Посмотрим на график из второго опыта в ролике.
Свободное падение тела.
Сведем результаты из графика в таблицу. Нечто странное
творится .
S м 0.01
0.05 0.11 0.19
0.31 0.44 0.60
приблизительно точки из графика.
t сек 0.05
0.10 0.15 0.20
0.25 0.30 0.35
DS 0.01 0.04
0.07 0.08 0.12
0.13 0.16 из графика
1 3 5 7 9
11 13 последовательность нарастания пути при
наложении сетки. Из сетки видно, что нарастание пути на каждом интервале
времени идет строго равное двум.
А из графика приращение пути определяется разностью,
которая имеет тенденцию роста.
Даже если увеличить масштаб, то разницы в целых числах
не наблюдается как в ролике.
1 3 5 7 9 11 13
то есть накладываемая сетка не отображает точек на графике,
приблизительно отраженных в таблице. В данной последовательности (из сетки)
видно отличие пройденного пути на каждом интервале времени, равное двум
единицам отсчета. Однако график не
совпадает с сеткой, где цена одного деления равна 10/8 или 1.25 от указанного
масштаба на оси расстояний в сантиметрах.
Таким образом, допущена небрежность в самом графике,
объяснения ее отсутствуют.
отсчет в метрах
S м 0.01
0.03 0.05 0.07
0.09 0.11 0.13
с разницей в пройденном пути равной
двум сантиметрам за каждые 0.05 секунды происходит, по словам, под зорким контролем камеры.
240 декларируемых кадров в секунду дают 12 кадров за
один отсчет в 0.05 секунды, а никак не 8, при этом за 0.35 секунды снимается
при такой съемке 84 кадра на семь отсчетов. Откуда 8 делений на 10
сантиметров в сетке? Только если
скорость съемки была 160 кадров в секунду. Детектив! Иначе просто подлог.
Выяснив подробности, и обнаружив неточности, все равно
видно, что второй опыт в ролике является такой же масштабной копией первых
двух. Масштабирование произведено уже и по времени в сто раз .
Напомню еще раз про масштаб. И идентичность расчетов.
Проведем расчет.
1 3 5
7 9
11 13 последовательность нарастания пути в
делениях сетки
Si 1 4 9 16
25 36 49
путь в делениях сетки
t сек 0.05
0.10 0.15 0.20
0.25 0.30 0.35
масштаб 1/20 секунды.
1 2 3 4
5 6 7 отчеты времени
V 20 40 60
80 100 120
140 скорость в делениях сетки
Ускорение
будет отношением разницы скоростей
Определяемой на
двух любых интервалах времени.
а=20/0.1=200
S=at^2=200
А теперь
масштабируем, поскольку одно деление сетки равно 1.25 см. одно деление времени=0.05 сек
Si см
1.25 5 11.25
20 31.25 45
61.25
t сек 0.05 0.10
0.15 0.20 0.25
0.30 0.35
v см/сек 25 50
75 100 125
150 175
приращение скорости=25/0.1 на первой паре интервалов, и на всех
последующих, это ускорение 250 см/сек^2
теперь считаем по формуле s=at^2=25
метров*7отсчетов^2*0.05 масштаб времени= 61.125 см.п
о формуле s=at^2/2 чтоб
получить табличный результат необходимо:
либо ускорение считать удвоением, либо квадрат времени уменьшить вдвое.
То есть осуществить подгон.
Проверяем подстановкой s=10*0.35*0.35/2=0.6126 см.
По формуле s=at^2 необходимость подгона пропадает.
250
P.S.
при торможении скорость падает до нуля, и это тоже
сумма скоростей на каждом интервале времени взятых с отрицательным знаком, то есть последовательность обратная
суммированию. На каждом интервале времени проходится участок меньший на
величину определяемую значением приращения(уменьшения) скорости.
В дополнении данного приводится разбор
«доказательств», публикуемых ныне во
всех без исключения учебниках по физике и математическому анализу, связанных с
кинематикой равноускоренного движения.
http://fatyf.aiq.ru/cinema1.htm
все это относится и к равноускоренному падению тел.
В своей последней книге Галилей сформулировал правильные законы падения: скорость нарастает пропорционально времени, v=s/t а путь — пропорционально квадрату времени.[76] s=at^2
замечу, не половине этого квадрата времени! Ну и само собой не половине ускорения.
Фатьянов А.В.
Спб. 22.01.2011 уточняющие
исправления 11.10.2011
Материал защищен, и копирование без ссылок
на автора, а так же использование без
ссылок материалов данной статьи будет преследоваться по закону.